Разбор I варианта (задания 12-18) сборника Ященко ЕГЭ по профильной математике 10 вариантов 2024 — Репетитор по физике и математике, ЕГЭ и олимпиады

Задание 12. а) Решите уравнение

4\sin x\cos^2x-\sqrt{3}=2\cos x\left(1-\sqrt{3}\sin x\right)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

Решение:

а) Перенесём все слагаемые в левую часть и сгруппируем отдельно слагаемые с целыми коэффициентами, отдельно с иррациональными (корень из 3).

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π]:

При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие данному отрезку.

Задание 13. В правильной треугольной пирамиде MABC двугранный угол при основании равен arcsin(5√29/29). Через точку K ребра MC и вершины A и B проходит плоскость α так, что площадь сечения пирамиды плоскостью α относится к площади основания как 5 : √41.

a) Докажите, что прямая MC перпендикулярная плоскости α.

б) Найдите объём пирамиды MABK, если объём пирамиды MABC равен 123√17.

Решение:

а) Так как MABC — правильная треугольная пирамида, то ABC (основание пирамиды) — правильный треугольник (остальные треугольники равнобедренные). При этом высота основание MH пирамиды — точка H — является центром правильного треугольника ABC. Пусть точка L — середина AB. Тогда угол MLC равен arcsin(5√29/29), так как MLC — линейный угол двугранного угла. Если MH обозначить за h, то ML = √29*h/5, а по теореме Пифагора для ΔMLH LH = 2h/5.

Так как H — точка пересечения медиан (свойство правильного треугольника) ΔABC, то HC = 2LH. LC = 6h/5.

Так как ∠CBL = 60°, то CL / BC = sin 60°. Значит BC = CL / sin 60° = 2CL/√3 = 12h/(5√3).

S\tiny ABC\normalsize = \frac{1}{2}\cdot\frac{6h}{5}\cdot\frac{12h}{5\sqrt{3}}=\frac{36h^2}{25\sqrt{3}} = \frac{1}{2}KL\cdot AB=\frac{1}{2}KL\cdot\frac{12h}{5\sqrt{3}}

KL=\frac{36h^2}{5\sqrt{3}\sqrt{41}}\cdot\frac{2\cdot5\sqrt{3}}{12h}=\frac{6h}{\sqrt{41}}

ΔAKB — равнобедренный, так как AK = KB.

\frac{KL}{LC}=\frac{6h\cdot5}{\sqrt{41}\cdot6h}=\frac{5}{\sqrt{41}}

Заметим, что KL относится к LC так же, как и площадь треугольника AKB к площади треугольника ABC. При этом ∠KLC — линейный угол двугранного угла между (AKB) и (ABC). Вспомнив теорему об ортогональной проекции (площадь ортогональной проекции выпуклого многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции) приходим к выводу, что прямая МС перпендикулярна (AKB).

б) Так как ∠KLC — линейный угол двугранного угла между (AKB) и (ABC) и cos KLC = 5/√41, то KC = LC * sin KLC = 6h/5 * 4/√41.

По теореме Пифагора

MC=\sqrt{MC^2+MH^2}=\sqrt{\frac{16h^2}{25}+h^2}=\frac{\sqrt{41}}{5}h

MK=MC-KC=\frac{41h}{5\sqrt{41}}-\frac{24h}{5\sqrt{41}}=\frac{17h}{5\sqrt{41}}

Объём пирамиды находим как 1/3 произведения высота на площадь основания.

V_{MABC}=\frac{1}{3}MH\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}h\cdot S_{ABC}

Далее найдём объём пирамиды MABK:

V_{MABK}=\frac{1}{3}MK\cdot S_{ABK}=\frac{1}{3}\cdot\frac{17h}{5\sqrt{41}}\cdot\frac{5}{\sqrt{41}}\cdot S_{ABC}=\frac{17h}{3\cdot41}S_{ABC}

V_{MABK}=\frac{17h}{3\cdot41}\cdot\frac{3V_{MABC}}{h}=\frac{17}{41}\cdot V_{MABC}=\frac{17}{41}\cdot123\sqrt{17}=51\sqrt{17}

Задание 14. Решите неравенство

\frac{2x^3-11x^2+12x+9}{3^{2x+1}-7\cdot3^x+2}\le 0 (2x^3-11x^2+12x+9)/(3^(2x+1)-7*3^x+2)<=0

Решение:

Сначала найдём нули числителя. Для кубического многочлена такая задача может быть достаточно трудной. Применим теорему о рациональных корнях (многочлена с целыми коэффициентами).

Для отбора возможных рациональных корней применим схему Горнера.

Итак, нашли один корень x = 3. Остальные корни можно найти из квадратного уравнения 2x^2-5x-3=0. Откуда взялось это уравнение? Дело в том, что схема Горнера используется при делении многочленов степени n>=2 на одночлен x-a, где а — число, записанное в первом столбце (и некоторой строчке). Остальные числа в этой строке являются коэффициентам многочлена — частного от деления, а число в последнем столбце — остатком от деления. Мы делим кубический многочлен на одночлен x-3 и получаем квадратный трехчлен 2x^2-5x-3.

D=b^2-4ac=25-4\cdot2\cdot\left(-3\right)=49

x_{2,3}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm7}{4}=3;-\frac{1}{2}

Таким образом, найдены нули числителя. Нули знаменателя можно найти, решив квадратное уравнение относительно 3 в степени x.

\left(t-2\right)\cdot\left(3t-1\right)=0

В итоге неравенство приходит к виду

\frac{2\left(x-3\right)^2\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\left(3^x-2\right)\left(3\cdot3^x-1\right)}\le 0

По методу интервалов расставим знаки функции f(x) (левая часть неравенства), учитывая, что x=3 — корень кратности 2 (нет чередования знаков при переходе через него).

Обратите внимание, что x=3 также удовлетворяет решению неравенства.

\text{Ответ: }x∈\left(-\infty;-1\right)\cup_{}^{}\left[-\frac{1}{2};\log_32\right)\cup_{}^{}\{3\}

Задание 15. Андрей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 3 года в размере 2 584 500 рублей. Сотрудники банка предложили Андрею два различных плана погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

План 1

— каждый январь долг возрастает на 7,5% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— кредит должен быть полностью погашен за три года тремя равными платежами.

План 2

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца со 2-го по 36-й долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на одну и ту же сумму;
— к 15-му числу 36-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат Андрея банку по более выгодному плану погашения кредита?

Решение. Введем обозначения. S = 2 584 500 р., k₁ = 1,075 = 1075/1000 = 43/40, k₂ = 1,01 = 101/100. Рассмотрим первый план погашения кредита. Составим таблицу.

№ периода (года)	Долг (р) до %%	Долг (р) после %%	Платёж (р)
1	S	k₁·S	x
2	k₁·S-x	k₁²·S-k₁·S	x
3	k₁²·S-k₁·x-x	k₁³·S-k₁²·x-k₁·x	x

Так как последний платёж должен быть равен долгу после начисления процентов (%%) в третьем периоде (чтобы полностью погасить долг третьим платежом), то приравниваем k₁³·S-k₁²·x-k₁·x и x.

Конечно, можно сразу подставлять числовые значения в полученную формулу. Однако это достаточно сложно сделать без калькулятора. Немного упростим эту формулу. Для этого в числителе вычтем и добавим S. Далее необходимо применить формулу разность кубов (a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

x=\frac{k1^3S-S+S}{k1^2+k1+1}=\left(k1-1\right)S+\frac{S}{k1^2+k1+1}=S\left(\frac{3}{40}+\frac{1}{\left(\frac{43}{40}\right)^2+\frac{43}{40}+1}\right)

Теперь посчитаем численное выражение в скобках.

\left(\frac{43}{40}\right)^2+\frac{43}{40}+1=\frac{1849}{1600}+\frac{1720}{1600}+\frac{1600}{1600}=\frac{5169}{1600}

Складывать дроби 3/40 и 1600/5169 неудобно, так знаменатели являются взаимно простыми числами. Однако можно заметить, что 2’584’500 делится на 5169 (естественно, нужно пробовать делить в столбик). 2’584’500 = 5169*500. Апострофы в формуле ниже используются для удобства восприятия больших чисел.

2\text{'}584\text{'}500\cdot\left(\frac{3}{40}+\frac{1600}{5169}\right)=3\cdot64612,5+1600\cdot500=193\text{'}837,5+800\text{'}000=993\text{'}837,5

Итак, мы посчитали x = 993837,5 рублей. Но нам нужно рассчитать в первом плане платежей общую сумму выплат, то есть 3x.

3x=3\cdot993\text{'}837,5=2\text{'}981\text{'}512,5

Теперь посчитаем сумму выплат по второму плану.

№ периода	Долг до %% (р)	Долг после %% (р)	Платеж (р)
1	S	k₂S	k₂S-35·S/36
2	35·S/36	35·k₂·S/36	35·k₂·S/36-34·S/36
3	34·S/36	34·k₂·S/36	34·k₂·S/36-33·S/36
…	…	…	…
35	2·S/36	2·k₂·S/36	2·k₂·S/36-S/36
36	S/36	k₂·S/36	k₂·S/36

Просуммируем все платежи.

k_{2}S-\frac{35}{36}S+\frac{35}{36}k_{2}S-\frac{34}{36}S+\frac{34}{36}k_{2}S-\frac{33}{36}S++\frac{2}{36}k_{2}S-\frac{1}{36}S+\frac{1}{36}k_{2}S=

=\frac{k_{2}S}{36}\cdot\left(36+35+...+1\right)-\frac{1}{36}S\left(35+34+...+1\right)=

\frac{k_{2}S}{36}\cdot\left(\frac{36+1}{2}\cdot36\right)-\frac{1}{36}S\left(\frac{35+1}{2}\cdot35\right)=\frac{k_{2}S}{2}\cdot37-\frac{35}{2}S=

\frac{S}{2}\cdot\left(37\cdot\frac{101}{100}-35\right)=\frac{2584500}{2}\cdot\frac{3737-3500}{100}=\frac{2584500}{2}\cdot\frac{237}{100}=3\text{'}062\text{'}632,5

Таким образом, сумма всех платежей по второй схеме 3 062 632,5 рублей. Разница между суммарными платежами по первой и второй схемам составляет 81120 рублей.

Ответ: 81120 рублей.

Добавить комментарий Отменить ответ